两点确定一条直线
两点之间的直线段是最短的。
同一角度的补角相等是一个几何定理，这意味着，如果两个角是同一角的补角，它们的度数相等。
同样大小的角或者互为补角的角的余角相等。
已知一个点，过这个点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点到直线上任一点的垂线段，是连接该外点与直线上的各点的线段中最短的。
根据7平行公理，如果给定一条直线和一点，那么通过这一点可以作出一条和给定直线平行的直线，并且这条直线唯一。
当两条直线分别与第三条直线平行时，这两条直线之间也是平行的。
两条直线上的同位角相等，如果角A等于角B，角C等于角D，则可以得出这两条直线平行。
两条直线如果被一横穿线所切割，而内错角相等，则这两条直线是平行的。
11. 对于两条直线而言，如果它们被一条横穿的直线相交，那么同一侧的内角互补，且两直线平行。
两条直线平行时，它们的同位角相等。
两条直线平行时，它们之间的内错角相等。
两条直线平行时，它们同旁内角相互补。
三角形的一个重要定理是：三角形的任意两边之和必须大于第三边。
三角形两边之差小于第三边是一个基本的三角形推论。
三角形内角和定理表明，三角形的三个内角的和总是等于180°。
直角三角形的两个锐角互余。这是因为，在直角三角形中，直角的度数为90度。因此，直角三角形的两个锐角加起来等于90度，即两个锐角互余。
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和是19 推论2。
三角形的一个外角大于不与其相邻的任何一个内角，这是三角形的几何性质之一。
全等三角形的定义是：如果两个三角形的对应边和对应角相等，那么它们是全等三角形。
22 边角边公理（SAS）是指如果两个三角形的两边和它们夹角对应相等，则这两个三角形全等。
三角形全等的条件之一是角边角公理(ASA)，即如果两个三角形中有两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等。
两个三角形如果有两个角和它们之间的一条边分别相等，那么这两个三角形是全等的。
边边边公理（SSS）指出，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
根据假设27的斜边-斜边-角相等公理（SSA)，如果两个直角三角形的斜边和一个非斜边角对应相等，则这两个三角形可能全等，也可能不全等。
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是27定理1的内容。
在一个角的两条边上等距离于定理2成立的点位于这个角的平分线上。
平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线，其上的所有点到角的两边的距离都相等。
等腰三角形的一个重要性质是两个底角相等，也就是说等腰三角形的两个底边所对的两个角相等。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。这意味着这三条线段的交点处在同一位置。
根据等边三角形的性质，我们可以得出结论，等边三角形的每一个角都相等且等于60°。
等腰三角形的判定定理是含义是，如果一个三角形的两个边相等，那么这两边所对的角也相等。
根据推论1，如果一个三角形的三个角相等，那么它一定是等边三角形。
等边三角形的一个重要特征是它的三条边都相等。因此，如果一个三角形有一个角等于60°，那么它的其他两个角应该分别是 60°和60°。由于等边三角形的所有角都相等，所以这个三角形必须是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。这是因为在直角三角形中，当一个锐角为30°时，根据正弦定理，斜边的长度等于直角边的长度的两倍。
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
在几何学中，有一个定理是指线段的垂直平分线上的任意一点到线段的两个端点的距离都相等。
逆定理指的是，如果一个点在一条线段的垂直平分线上，并且到线段的两个端点的距离相等，那么这个点一定是这条线段上的点。
线段的垂直平分线可以理解为与线段两端点距离相等的所有点的集合。这种定义可以帮助我们更好地理解垂直平分线的概念。
42 定理1：如果两个图形关于一条直线对称，那么这两个图形是全等的。
根据几何学的定理2，如果两个图形关于一条直线对称，那么对称轴将成为两个对应点连线的垂直平分线。
定理3：如果两个图形关于一条直线对称，并且它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上。
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。这个原理被称为逆定理45。
勾股定理指的是直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2=c^2。
三角形的勾股定理逆定理指出，如果三角形的三边长a、b、c满足关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和等于360°，这意味着四边形的四个外角之和为360°。
多边形内角和定理指出，任意 n 边形的内角和等于 (n-2) × 180°。
任意多边形的外角和等于360°是数学定理中的一个推论。
平行四边形的性质定理1是平行四边形的对角线相等。
平行四边形的性质之一是其对边相等。
夹在两条平行线间的平行线段相等的性质是54推论。
平行四边形的性质之一是对角线互相平分。
定理表述有一些错误。正确的表述应该是：两组对边分别相等且对角相等的四边形是平行四边形。
一个四边形如果有两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，这就是平行四边形的判定定理2。
根据平行四边形判定定理3，如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
一组对边平行相等的四边形满足平行四边形判定定理4。
矩形的基本性质之一是：矩形有四个直角。
矩形的对角线相等是矩形的性质定理之一，这是因为矩形的两对边相等且平行，根据几何定理可得出矩形的对角线相等。
根据矩形判定定理1，如果一个四边形有三个直角，那么它就是一个矩形。
根据矩形判定定理2，如果一个平行四边形的对角线相等，那么它是一个矩形。
菱形的性质定理之一是：菱形的四条边都相等。
菱形的性质之一是它的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的面积可以通过以下公式进行计算：S=(a × b) ÷ 2，其中 a 和 b 分别表示菱形的对角线长度。
四边都相等的四边形被称为菱形，这是菱形的判定定理之一。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定定理称为6-8菱形判定定理2。
一个正方形是一个特殊的四边形，它具有以下性质：四个内角均为直角（90度），并且四条边长度相等。
正方形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。其中，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
中心对称的两个图形是指一个图形经过某一点作对称后重合在一起。根据定理1，如果两个图形是中心对称的，那么它们是全等的。
关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分的定理被称为中心对称的要点定理。
逆定理是指如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
等腰梯形的性质定理是指，在同一底上的两个等腰梯形的对应角相等。
梯形的两条对角线相等时，它就是等腰梯形。
等腰梯形判定定理指出，如果一个梯形的两个对角线长度相等，那么这个梯形就是等腰梯形。
等腰梯形是指对角线相等的梯形，即梯形的两条非平行边长度相等。
78 平行线等分线段定理是平面几何学中的重要定理，它表明如果一对平行线截取一条直线上的线段等分，那么它们在其他直线上所截取的线段也相等。
根据梯形性质，经过梯形一腰的中点与底的平行直线，必平分另一腰。
在三角形中，如果一条直线经过一个边的中点并且与另一边平行，则这条直线将三角形的第三条边平分。
三角形中位线定理指出，三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
梯形中位线定理指出，梯形的中位线是平行于两底的，并且等于两底之和的一半，可以表示为 L=(a+b)÷2。其中，L代表中位线的长度，a和b分别代表梯形的两个底的长度，h代表梯形的高。同时，梯形的面积S可以表示为L乘以h。
比例的基本性质是非常重要的。当两个比例a:b和c:d相等时，它们的乘积也相等，即ad=bc。反之，如果ad=bc，那么a:b=c:d。这些性质在数学中有着广泛的应用。
如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d。这是合比性质的一种具体表现。
对于等比数列，若a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b。
三角形内部的平行线被截时，所得的对应线段成比例，这就是平行线分线段成比例定理。
根据第87个推论可知，如果一条直线与三角形的一条边平行，那么这条直线将截断其他两条边（或这两条边的延长线）所得的对应线段成比例。
根据给定的内容重新表述可以如下：
如果一条直线将三角形的两边（或两边的延长线）成比例地截断，那么这条直线与三角形的第三边平行。
若一条直线与三角形的一边平行，并且与其他两边相交，所截得的三角形的三条边与原三角形的三边成比例。
直线与三角形的一边平行，且与其他两边或延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。这一结论称为90°定理。
根据ASA相似三角形判定定理1可以得知，如果两个三角形中有一对角相等且它们的两对边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
斜边上的高可以将直角三角形分成两个三角形，这两个三角形和原三角形相似。
根据给定内容，“93 判定定理2”表明两个三角形如果它们的两个对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
三角形相似的判定定理之一是“若两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似(SSS相似)”。
直角三角形相似定理（95 定理）指出，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例，那么这两个直角三角形是相似的。
根据相似三角形的性质定理1，相似三角形的对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形是指具有完全相同形状但是不同尺寸的三角形。性质定理2指出，如果两个三角形是相似的，那么它们的周长的比等于它们的边长的相似比。
相似三角形的性质之一是，它们的面积之比等于它们对应边长度的比的平方。
正弦定理和余弦定理是初等数学常用的三角函数性质之一。它们描述了任意锐角的正弦值等于它的补角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的补角的正弦值。
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
定点到圆上任意一点的距离等于圆的半径，这也是定义圆的一种方式。
圆的内部可以被认为是所有距离圆心小于半径的点构成的集合。
圆的外部是指所有距离圆心大于半径的点构成的集合。
同圆或等圆的半径相等。这意味着如果两个圆是同一个圆，或者它们的半径长度相等，那么它们是同圆或等圆。
徑的圓。
两点之间的垂直平分线上的点到这两点的距离相等。
对于一个已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。
两条平行线上距离相等的点的轨迹，是与这两条平行线平行且距离相等的一条直线。
三点不在同一直线上可以确定一个唯一的圆。
垂径定理是指：一条垂直于弦的直径，会平分这条弦，并且还会将弦所对的两条弧也平分为相等的两部分。
根据给定内容重新表述如下：
对于一个圆，如果一条直径垂直于弦，并且同时平分弦所对的两条弧，那么该直径将是平分弦的垂直平分线，同时也是平分弦所对的两条弧的一条直径。
圆的两条平行弦所夹的弧相等是112推论2。
圆是以其圆心为对称中心的中心对称图形。
在同一圆或等圆中，圆心角相等的话，其所对的弧长度也相等；对应的弦长度相等，并且它们的弦心距也相等。
同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
根据几何定理，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
同一圆周内的两个角所对的弧相等，或者在同一圆内的两个角相等，那么这两个角的大小也相等。
推论2：一个半圆（或直径）对应的圆周角是直角。另外，一个圆周角对应的弦是直径。
三角形一边上的中线等于这边的一半的话，可得出结论这个三角形是直角三角形（119 推论3）。
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
这个定理证明了圆的内接四边形的特性，对角互补并且外角等于内对角。
在几何学中，当直线L与圆O相交时，它们的距离d小于半径r；当直线L与圆O相切时，它们的距离d等于半径r；当直线L与圆O相离时，它们的距离d大于半径r。
圆的切线是经过圆外一点并且垂直于半径的直线。这是切线的判定定理之一。
圆的切线与通过切点的半径垂直的性质定理是123 定理。
根据几何学推论1，一条经过圆心且垂直于切线的直线必定经过切点。
教材中的一个几何学推论表明，如果一条直线经过圆的切点并且与切线垂直相交，则该直线必定经过圆的圆心。
切线长定理表明，从圆外一点引圆的两条切线，如果它们的切线长度相等，那么圆心和这一点的连线将平分两条切线的夹角。
一个有趣的几何定理是：如果一个四边形内接在一个圆上，那么这个四边形相对的两组边的长度之和是相等的。
在数学中，我们学到了一个重要的定理——弦切角定理。它告诉我们，圆周角等于它所对的弧上的弦切角。
根据给定信息，可以得出以下结论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等的关系被称为"130 相交弦定理"。
如果一条弦与圆的直径垂直相交，那么弦的一半将成为该弦分割直径的两条线段的中线。
132切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线时，切线段的长度的平方等于切点到圆心距离与割线段长度之积。
圆外一点到圆的两条割线与圆的交点的两条线段长的积相等的这一推论被称为圆的外切线定理。
两个圆相切的话，切点一定在它们的连心线上。
1. 两个圆的位置关系可以分为五种情况：①相离（即两圆的距离大于它们的半径之和）；②外切（即两圆的距离等于它们的半径之和）；③相交（即两圆的距离小于它们的半径之和，且大于它们的半径之差）；④内切（即两圆的距离等于它们的半径之差，其中大圆的半径大于小圆的半径）；⑤内含（即一个圆完全包含在另一个圆内部）。
两个相交的圆，我们可以画出它们的两条连心线。定理表明这两条连心线互相垂直且将两圆的公共弦垂直平分。
根据以上的定理可以得出结论，将一个圆分割成n（n≥3）等份后，依次连接各分点可以得到一个内切的正n边形；而通过各分点作圆的切线，取相邻切线的交点为顶点可以得到一个外切的正n边形。
正多边形的一个重要特性是可以找到一个外接圆和一个内切圆，它们均为正多边形的同心圆。
正n边形的每个内角都等于 (n-2) × 180° ÷ n。
根据140定理，正n边形的半径和边心距将正n边形分成2n个全等的直角三角形。
正n边形的面积可以用公式Sn=(1/2)*p*rn表示，其中p表示正n边形的周长。
正三角形的面积公式为：$A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，其中a表示边长。
在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角时，这些角的和应为 360°。因此，根据这一性质，我们可以得到方程式：k×(n-2)180°/n=360°，化简后得到 (n-2)(k-2)=4。
弧长的计算公式通常为 L=θ * R，其中L为弧长，θ为弧度角度，R为半径。
扇形的面积公式为：$S=\frac{n \cdot R^2}{360}=\frac{L \cdot R}{2}$。
公切线是切到两个相交的圆但不相交的圆时切点到两个圆心的距离。内公切线是切到两个相交的圆时切点到两个圆心的距离。外公切线是切到两个不相交的圆时切点到两个圆心的距离。内公切线长度为 d-(R-r)，外公切线长度为 d-(R+r)。
